开设反问题选修课程的思考

“反问题”一词出现在20世纪60年代，特别是在地球物理中，通过输入、输出或是因果实验来确定地球物理方程中的未知量.现在，“反问题”一词指用最好的方法来重建缺失的信息.例如，确定污染源，散射体的位置或是模型参数等.历史上，反问题在自然界的探索以及科学研究中有不少著名的例子.19世纪初期，由于当时并没有发现海王星，天文学家利用牛顿的万有引力计算天王星的运动轨迹时，发现与观测到的轨道不相符.1844年，法国天文学家Le Verrier假设有一颗行星使得天王星的运行轨迹如观察到的，利用反扰动方法计算出了海王星的位置.第二个例子是Abel积分方程，它源于对等时曲线问题的求解：测出物体从曲线不同高度下降的时间，寻求曲线的形状.这一方程在地震学、天体物理学、成像以及许多其他物理科学中具有基础性作用.在现代医学中，CT扫描发挥着十分重要的检测作用.在这个过程中，从不同方向拍摄多个X射线图像，然后将X射线数据送入层析重建程序，由计算机进行处理并得到反映人体组织结构的图片.其中的核心算法的数学基础是奥地利数学家Radon在1917推导的Radon变换.

反问题与正问题往往是成对出现的.正问题常常用来刻画符合自然规律的事物或现象，通过正问题来求得其演化的结果，其结果通常满足法国数学家Hadamard提出的适定性、存在性、唯一性、稳定性.而反问题常常是根据可观测的现象来探求事物的内部规律，即由果求因，其求解过程违背了事物发展的自然顺序，往往是不适定的.数学上，正问题可以看成是把一个算子K作用于一个已知模型空间中的变量x，即用算子方程Kx=y来描述并求计算结果y.而反问题是给出y的值求解x.下面以矩阵方程为例来说明反问题求解中会产生不适定性.

设K是一个m×n矩阵，当y属于K的值空间R(K)时，矩阵方程Kx=y存在唯一解或是无穷多个解；当y不属于K的值空间R(K)时，方程不存在解.无论哪种情况下，我们可根据最小二乘法来求得唯一的解，对反问题而言这个解是合理的.考虑到实际情况，观测值会有一定的扰动yδ.令为其解，那么

从而其中cond(K)=‖K-1‖‖K‖称为矩阵K的条件数.当条件数很大时，矩阵K是病态的，此时y的较小相对误差引起x的较大相对误差，从而该反问题是不稳定的.通常，我们总可以按照要求，根据一定的标准找到反问题的解，但是不稳定可能造成求得的解与真实解相差太大.

大部分反问题都可以归结为算子方程：Kx=y，其中K：X→Y是紧算子，X、Y为Hilbert空间.此时K-1：Y→X是一个无界算子，从而解是不稳定的.但是，在已知解的更多信息情况下，可以用正则化方法构造出K-1的有界近似算子，使得近似解趋于真实解.这种方法首先由苏联数学家Tikhonov在20世纪60年代初提出的，它奠定了反问题理论基础与计算基础.

现在，反问题的研究已经深入到生活、生产、研究的众多领域，它在机器学习、统计推断、地球物理、医学成像、遥感、海洋声学层析、无损检测、工业控制、地质探测、雷达、天文学、航空航天等许多领域都有重要的应用[1].很多优秀的数学家、物理学家以及工程技术专家在反问题的研究、发展及应用上取得了丰富成果.目前，反问题的研究主要集中在数学物理反问题.根据反问题所要反演目标的不同，通常分为参数识别问题、逆时反问题、反源问题、边界控制问题、几何反问题等.我国冯康先生在20世纪80年代初曾经著文《数学物理中的反问题》，较早地介绍了这个新的研究方向.国内已有不少学者出版了反问题相关专著，例如，肖庭延、于慎根、王彦飞著的《反问题的数值解法》，刘继军著的《不适定问题的正则化方法及应用》，韩波、李莉著的《非线性不适定问题的求解方法及应用》等.国外同行学者也有很多经典的专著，如Victor Isakov的Inverse Problems for Partial Differential Equations，Andreas Kirsch的An Introduction to the Mathematical Theory of Inverse Problems，Fioralba Cakoni，David Colton 的Qualitative Methods in Inverse Scattering Theory，David Colton，Rainer Kress的Inverse Acousticand Electromagnetic Scattering Theory，Alexander G.Ramm的Inverse problems，Richard C.Aster，Brian Borchers，Clifford H.Thurber的Parameter Estimation and Inverse Problems，Mario Bertero，Patrizia Boccacci的Introduction to Inverse Problems in Imaging等等.这些书中既包括反问题的一般理论，也各有侧重地介绍反问题在不同领域的求解方法，它们大体上反映了反问题在相关领域的研究成果，是青年学者不可多得的学习书籍，其中各种不同数学方法的理论分析、数值实验尤其值得关注.欧美等国为推进反问题发展纷纷开办刊物，如现在已经成为权威期刊的Inverse Problems，Inverse Problems and Imaging，Inverse Problems in Science Engineering，J.of Inverse and Ill-posed Problems等，方便了全球专家学者交流学习.

国内一些大学、研究所在反问题及其应用方面做出了突出贡献.如浙江大学包刚教授的研究团队、中国科学院数学与系统科学研究院张波研究员的研究团队、东南大学刘继军教授的研究团队、香港中文大学邹军教授的研究团队、哈尔滨工业大学韩波教授的研究团队、兰州大学魏婷教授的研究团队以及中山大学、吉林大学、复旦大学、上海大学、华中师范大学的相关研究团队等，他们的研究成果丰硕，科研水平与能力处于国际领先位置，带动了国内反问题的研究与开展，举办了一系列与反问题相关的国际会议，培养了一批优秀的青年学者，在国家一些重大项目上有很大贡献.近年来反问题的研究及其应用取得很大的发展，在促进社会进步、国家经济发展上具有重要价值.

反问题目前只在研究生教学中展开，与其他学科有很强的交叉性特点，考虑到反问题应用的广泛性及其对生活、生产的重要促进作用，从培育应用型、创新型人才的角度来看，我们应该在大学本科阶段开设反问题选修课程，以激发学生的学习兴趣，提高学生的数学素质，开阔学生视野，拓展学生思维，培养他们综合应用能力和创新能力，提高人才培养质量，为以后进一步学习打下基础.科学化的反问题研究为我们在解决问题、增长智慧方面提供了很好的案例和方法论.开设反问题选修课程，可以提供一个途径，让感兴趣的同学系统地了解和接触这门知识，弥补高校选修课开设不足的缺陷[2].下面对课程相关基础知识准备、授课对象、教学方式的确定和教材编写或选取等四个方面给出建议和意见.

反问题的学习与研究分为三个步骤：建立数学模型，分析并提出解决方法，进行数值实验以验证方法的正确性.因此，需要学生具备数学理论知识和计算机编程技巧方面的能力.一般地，从建模中得到数学物理方程反问题，从反演的类型来看可分为以下几个方面：(1)计算机断层成像；(2)反散射；(3)热传导反问题；(4)地球物理反问题；(5)成像反问题；(6)微分方程参数识别.因此，选修学生需具备数学分析、高等代数、数学物理方程、拓扑学和泛函分析等基础以理解问题的描述和解决思路.对工科学生，只需要在高等数学和线性代数的基础上，学习专门针对工科学生微分方程和泛函分析的基础书籍即可.反问题本身的实用性决定了，需要研究者用具体的例子来证明结果的有效性，因此，需要掌握计算机编程、数值模拟来呈现实例.对学习者而言，就需要计算方法、数值分析，微分方程数值解、Matlab等知识.这些内容数学专业和其他理工科学生一般在专业课程中都要学到.当然不同类型的反问题涉及不同领域的背景知识，在学习过程中应有针对性地介绍.

反问题应用范围十分广泛，涉及社会科学、自然科学、工程技术等领域，社会生活、经济发展、国防安全出现大量的反问题需要解决，这给相关技术人才提供了广阔的舞台，也使得人才的培养显得十分必要.恰当地选取授课对象，可以帮助反问题知识进行精准推广和有效传播.反问题不仅是数学问题，也与相关学科的专业知识紧密联系在一起，更多地体现在应用领域.反问题教学应以应用为导向，选择多学科、跨专业学生为宜.建议在应用数学、地球物理、医学技术、遥感、雷达、系统工程、无损检测等相关专业大三或大四的学生中进行推介，一来该类学生已具备相应基础知识，再则选修课程将帮助学生选定专业研究方向，丰富研究手段和思路，培养学生应用知识解决问题的能力，可实现课程服务于学生.

我国高校实行教学质量工程建设和评估，推进了教学质量的量化、可视化，同时促进教学方式不断改革以更适应学生和社会的需求.授课对象决定了我们不能简单地将反问题在研究生中的教学方式搬到本科生中来，教学目标不是培养专门的学者，而旨在拓宽学生知识，提高学生的综合素养，培养学生的创新能力，供有需求的学生选择.因此，教学中吸引学生的兴趣，启发学生的思考，引导他们探索是首要的，对初学者接受起来较难的系统的、专业的理论知识可以放在稍次要的位置.讲述方式应以问题为导向，辅之以必要的理论分析，重在介绍思维方式，做到深入浅出，通俗易懂.例子选取重在体现反问题的应用性背景，展现反问题的求解思路与关键所在.一般选修课程在32～48学时左右，教学者需在知识的深度、广度和学生的接受程度上做出很好的平衡.另外，反问题的教学应该充分发挥第二课堂的作用，开展专家学者的专题报告，或是工程技术人员的实践教学.

反问题的教学还因该包括数值实验部分，需要学生用一定的数值方法反演目标.反问题的求解需要用正则化理论，这对本科生而言稍显困难，建议有能力的学生加入研究生的团队中学习.考虑到反问题的理论知识无须讲解十分详细、完备，建议用多媒体教学.

反问题涉及数学基础知识范围广，同时也是一个跨学科的前沿理论，国外和国内目前只在研究生阶段培养研究型、应用型专业人才，针对本科生的教材不多见.因此，在确定培养目标、选取教学内容、编排教学材料、设计教学活动等方面都需要进行探索，既要考虑到学生的接受能力，也要反映反问题的基本知识、思想和方法，以期让学生对反问题有一个初步而相对完整的认识.我国高校多鼓励教师根据本校课程设置和学生特点，编写合适的教材，在反问题授课材料的编写上我们给出以下几个建议.

1.从已学过的内容中挖掘出反问题的例子，如线性方程组的求解[3][4]，常微分方程的特征值，高等数学中的积分与求导，积分变换，数值分析中的拉格朗日插值、数据拟合等内容.这样的题材便于学生理解、掌握反问题的要领，体会反问题的特点.

2.理论知识包括泛函分析中广义空间、紧算子的基本理论，不适定问题的基础理论以及微分方程的数值解法.在这些知识的介绍中无须求全，应尽量简洁易懂、突出重点，让学生掌握最基本的知识、思想与方法.

3.适当地介绍反问题在相关领域的发展、应用，合理设计专题知识.目前反问题的数学模型大都是数学物理方程，因此，要重点讲解数学物理反问题，如逆时反问题、反源问题[5]、反边值问题等.突出不同类型反问题的求解方法与技巧.

4.安排适量的、难度适中的反问题数值实验很有必要，既锻炼了学生反问题程序编写能力，又能促进对反问题的理解与认识.教材中编写一定量的小组作业既能培养学生对知识的运用能力、又可以发挥解决问题的能力.

5.近年来在大学生的竞赛活动中也出现了一些实际应用中的反问题，这样的题材融入教学中对教学效果有很大的促进作用.

近年来，反问题的应用与研究已成为应用数学中发展和成长最快的领域之一，它在应用领域的多个学科取得了很多成果，为国家建设与经济发展做出了应有的贡献.反问题的研究中涌现出了一系列新的问题、理论和方法.在本科生中推荐、介绍反问题，有利于学生拓展思维、增长眼界、提高技能素质.本文介绍了反问题及其发展状况，并就反问题在本科生中开展教学进行探讨，这也响应了我国当前全面深化教育领域综合改革的政策[6]，为培养创新型人才，提高人才培养质量，满足社会需求做出一点努力.

【参考文献】

[1]张关泉，张宇.漫谈反问题——从“盲人听鼓”说起[J].科学中国人，1997(1)：36-38.

[2]孙会明.我国高校创新人才培养模式改革现状调查研究[D].南昌：江西师范大学，2015.

[3]孙胜先，钱泽平.幂等和幂零阵的伴随阵的反问题[J].大学数学，2006(5)：114-116.

[4]陈兴同.关于工科“线性代数”课程中的反问题[J].大学数学，2009(5)：190-194.

[5]杨帆，傅初黎.Poisson方程热源识别反问题[J].数学物理学报，2010(4)：1080-1087.

[6]王炳林.全面深化教育领域综合改革——深入学习答案总书记教育思想(七)[N].中国教育报，2017-9-15(1).

【基金项目】中南民族大学2018教研项目(JYX17038，JYX17037)，国家自然科学基金项目(11571132).