积分中换元法的教学认识

作者: 奥鹏周老师 分类: 论文专区 发布时间: 2019-07-09 00:08
积分中换元法的教学认识
◎马忠莲
(滇西科技师范学院,云南 临沧 677000)
【摘要】第一换元积分法和第二换元积分法是求解函数不定积分非常重要的两种思想和方法.本文探讨出求积分中应用换元积分法的基本思路是函数化为变量或变量化为函数,强调这个基本思路是学生深刻理解和有效应用换元积分法的关键,是培养学生应用换元积分法的意识,并能较快区分使用第一换元积分法与第二换元积分法,使之灵活应用的关键.
【关键词】积分;第一换元;第二换元;本质

换元积分法是最常用的求积分方法,在此内容的教学过程中,“数学分析”或“高等数学”都用了大量的篇幅来讲解换元积分法,教师也会在这个地方花费很多时间来讲解该内容,实践证明学生对换元积分法的理解与把握是存在很大难度的.主要表现在学生对换元思想的理解处于片段式理解,没能抓住第一、第二换元方法的实质,故而感觉内容多、方法多而难快速、准确地把握和应用.传统教研中,利用这两种方法无论是在思考问题的思路上,还是在适合解决问题的分类上都区分得很清楚,这种清楚的区分导致换元法在积分中的应用复杂多变,不易找到变化的基本思路和本质,不易灵活应用换元积分法.笔者认为要解决换元积分法的教学难题,做到快而准地理解应用换元积分法是引导学生领会换元的基本规律与道理,强调并让学生紧紧抓住函数化为变量或变量化为函数.

无论是第一换元积分法还是第二换元积分法其基本规律与道理是:函数化为变量或变量化为函数.在讲授该内容时,若将第一换元和第二换元割裂来讲,不但学生在把握第一换元有难度,到学习第二换元法时几乎是要耗费很大的精力,掌握的效果也不一定好.实践证明、强调掌握两种换元基本规律与道理:函数化为变量或变量化为函数是把握换元积分法的最有效方法.

定理一[2] (第一换元积分法)若函数u=φ(x)在[a,b]可导,且α≤φ(x)≤β,有F′(u)=f(u),则函数f[φ(x)]φ′(x)存在原函数F[φ(x)],即


(1)

第一换元积分法指出,把函数φ(x)令成变量u.其过程可以表示为在教学中强调函数令成变量是该定理教学的切入点和关键.可见当积分无法用基本公式和四则运算来求时,可考虑把函数φ(x)(一个复杂的结构—函数)令成变量u(一个简单的结构变量),目的是变形后可用积分10组基本公式和四则运算求出.较复杂一点的情况中间会应用到一些常用数学基本公式.

定理二[1] (第二换元积分法)若函数x=φ(t)在[α,β]严格单调并且可导,且a≤φ(t)≤b,φ′(t)≠0,函数f(x)在[a,b]有定义,∀t∈[α,β],有G′(t)=f[φ(t)]φ′(t),则函数f(x)在[a,b]存在原函数,且


(2)

第二换元积分法指出,变量x令为函数φ(t)可以解决积分的求解问题.其过程可表为教学中强调变量(一个简单结构变量)令成函数(一个复杂结构函数),虽然表面上表达式变复杂了,但是转变后的新被积表达式却可以通过10组基本公式和四则运算或结合其他常用数学公式来解决积分问题.第二换元法就是把(2)式的左端求积分无法用基本公式和四则运算来求的积分,通过变量化为函数,转换为可以通过10组基本公式和四则运算,或较复杂一点的再结合其他常用数学公式来解决积分问题.

对比定理一和定理二,教学中强调两种换元方法其实质就是函数和变量的互换,可表为:函数⟺变量.无论是第一换元法从左到右,第二换元从右到左,目的都是能用基本四则运算、10组积分公式和一些数学基本常用转化公式求出积分.教学中没有必要去刻意区分第一换元与第二换元.[2]

例1 求

分析 首先在被积函数中含有不同名称的两个函数的乘积是造成该积分求解困难的原因,把sinxdx变成dcosx后被积表达式就只含有cosx,其次把函数cosx令成变量u(一个复杂的函数结构令成一个简单的结构变量u,即函数⟹变量)就转化成我们熟知的不定积分的公式的计算.

例2 求

分析 造成该题难于求解的原因是根号,为了解决根号的问题,可以令变量x=sint(强调:一个简单结构变量x令成一个复杂结构函数sint,即变量⟹函数)这样就能将根号里面变成完全平方从而达到去除根号的效果.

解 设

对比例1和例2可见两个换元积分法没有必要去强调区分出来,根据题目需要,或把函数转化为变量,还是把变量转化为函数,其目的都是解决实际问题.只要具备了第一换元法和第二换元法的基本思想:函数化为变量或变量化为函数,就能迅速有效地应用两种换元.以往的教学模式把两种换元割裂教学实质是增加了问题的复杂性.实践证明,在教学中抓住两种换元的本质是通过函数化为变量或变量化为函数,来改变积分的形态,从而达到能充分地运用四则运算和10组积分基本公式和其他数学常用公式来求解,理解、掌握该思想方法是学习把握求解积分的有效方法.

定积分的所有做法和不定积分一一对应.

例3 计算

分析 该题的难点在于无理函数可考虑把该无理函数整个结构转化成变量t(函数⟹变量).

解 设即x=t2(t≥0).当x=0时,t=0;当x=4时,t=2.

于是

=2(t-ln|1+t|)=2(2-ln3).

该题就是应用了第一换元化函数为变量,使得无理函数转化成了有理函数来求解.

教学中需要引导学生体会解决问题的方法:有化烦琐为简单的第一换元法,也有化简单量为复杂结构的第二换元法.其思想方法都是利用转换:函数⟺变量,或是函数⟹变量,或是变量⟹函数,目的都是用已知探求未知.通过应用已知的积分10组公式和四则运算,或是已知的常用基本数学公式探求出未知的、复杂的不定积分.

【参考文献】

[1]毕力格图,常桂花.关于换元积分法的探究[J].绥化学院学报,2006(4):164-165.

[2]刘玉琏,傅沛仁.数学分析讲义.上册(第五版)[M].北京:人民教育出版社,2008.

[3]侯风波.高等数学(第四版)练习册[M].北京:高等教育出版社,2014.

[4]林娇燕.换元法求定积分的巧用[J].当代教育理论与实践,2017(8):34-36.

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