福师22秋《实变函数》在线作业二【标准答案】

作者:奥鹏周老师 分类: 福建师范大学 发布时间: 2022-12-23 14:36

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福师《实变函数》在线作业二-0003

试卷总分:100 得分:100

一、判别题 (共 37 道试题,共 74 分)

1.f∈BV,则f有“规范分化式”:f(x)=f(a)+p(x)-n(x),其间p(x),n(x)别离为f的正变差和负变差.



2.增函数f在[a,b]上简直处处可微。



3.设f是区间[a,b]上的有界实函数,则f在[a,b]上R可积,当且仅当f在[a,b]上简直处处接连.



4.f为[a,b]上减函数,则f\'(x)在[a,b]可积且其积分值∫fdx≤f(b)-f(a) .



5.存在某区间[a,b]上增函数f,使得f\'(x)在[a,b]上积分值∫fdx


6.当f在[a,b]上R可积时也必L可积,并且两种积分值持平.



7.若f广义R可积且f不变号,则f L可积.



8.若对恣意有理数r,X(f=r)都可测,则f为可测函数.



9.可数集的测度必为零,反之也建立.



10.若f有界且m(X)<∞,则f可测。



11.三大积分收敛定理包含Levi定理,Fatou定理和Lebesgue操控收敛定理。



12.对恣意可测集E,若f在E上可积,则f的积分具有肯定接连性.



13.若F是R中一紧集(即有界闭集)且F不等于R,则F是从一闭区间中挖去可数个互不相交的开区间后所得之集.



14.三大积分收敛定理是积分论的中间成果。



15.若f_n测度收敛于f,g接连,则g(f_n)也测度收敛于g(f).



16.若f∈BV当且仅当f是两个增函数之差。



17.R中任一非空开集是可数个互不相交的开区间之并.



18.f可积的必要条件:f简直处处有限,且集X(f≠0)有sigma-有限测度。



19.共同收敛的肯定接连函数序列的极限函数也是肯定接连函数.



20.L积分下Newton-leibniz公式建立的充要条件是被积函数为肯定接连函数。



21.函数f在区间[a,b]上R可积的充要条件是f在区间[a,b]上的不接连点集为零测度集.



22.对R^n中恣意点集E,E\E\'必为可测集.



23.若f∈C1[a,b](接连可微),则f∈Lip[a,b],f∈AC[a,b].



24.存在[0,1]上的有界可测函数,使它不与任何接连函数简直处处持平.



25.f可积的充要条件:|f|可积。



26.不存在这样的函数f:在区间[a,b]上增且使得f\'(x)在[a,b]上积分值∫fdx


27.f∈BV,则f至多有可数个连续点,并且只能有榜首类连续点.



28.若f可测,则|f|可测,反之也建立.



29.若f有界变差且g满意Lip条件,则复合函数g(f(x))也是有界变差.



30.设f为[a,b]上增函数,则存在分化f=g+h,其间g是上一个接连增函数,h是f的跳动函数.



31.有限掩盖定理的内容是:若U是R^n中紧集F的开掩盖,则能够从U中取出有限子掩盖.



32.f∈BV,则f简直处处可微,且f\'∈L1[a,b].



33.若f,g∈AC,则|f|,f+,f-,f+g,f-g,f/g(g不为0),f∧g,f∨g均归于AC。



34.函数f≡C∈[-∞,∞],则f可测。



35.L积分比R积分更广泛,且具有优胜性。



36.若f∈BV,则f有界。



37.有界可测函数f在区间[a,b]上L可积的充要条件是f在[a,b]上简直处处接连.



二、单选题 (共 5 道试题,共 10 分)

38.若f∈L(X),则

A.f在X上简直处处接连

B.存在g∈L(X)使得|f|<=g

C.若∫Xfdu=0,则f=0,a.e.



39.开集减去闭集其差集是( )

A.闭集

B.开集

C.非开非闭集

D.既开既闭集



40.若|A|=|B|,|C|=|D|,则

A.|A∪C|=|B∪D|

B.|A∩C|=|B∩D|

C.|A\C|=|B\D|

D.当A或C为无限集时,|A∪C|=|B∪D|



41.fn->f,a.e.,则

A.fn依测度收敛于f

B.fn简直共同收敛于f

C.fn共同收敛于f

D.|fn|->|f|,a.e.



42.下列关系式中不建立的是( )

A.f(∪Ai)=∪f(Ai)

B.f∩(Ai)=f(∩Ai)

C.(A∩B)0=A0∩B0

D.(∪Ai)c=∩(Aic)



三、多选题 (共 8 道试题,共 16 分)

43.设E为R^n中的一个不可以测集,则其特征函数是

A.是L可测函数

B.不是L可测函数

C.有界函数

D.接连函数



44.若f(x)为Lebesgue可积函数,则( )

A.f可测

B.|f|可积

C.f^2可积

D.|f|<∞.a.e.



45.在R上界说f,当x为有理数时f(x)=1,当x为无理数时f(x)=0,则( )

A.f在R上处处不接连

B.f在R上为可测函数

C.f简直处处接连

D.f不是可测函数



46.若0<=g<=f且f可积,则( )

A.g可积

B.g可测

C.g<∞,a.e.

D.当g可测时g必可积



47.设fn与gn在X上别离测度收敛于f与g,则( )

A.fn测度收敛于|f|

B.afn+bgn测度收敛于af+bg

C.(fn)^2测度收敛于f^2

D.fngn测度收敛于fg



48.A,B是两个调集,则下列正确的是( )

A.f^-1(f(A))=A

B.f^-1(f(A))包括A

C.f(f^-1(A))=A

D.f(A\B)包括f(A)\f(B)



49.若f不可以测,g可测,则下列正确的是( )

A.f+g不可以测

B.fg不可以测

C.g^2可测

D.|g|可测



50.若f,g是有界变差函数,则( )

A.f+g有界变差函数

B.fg有界变差函数

C.f/g有界变差函数

D.max(f,g)有界变差函数

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