福师22秋《实变函数》在线作业一【标准答案】

作者:奥鹏周老师 分类: 福建师范大学 发布时间: 2022-12-23 14:36

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福师《实变函数》在线作业一-0002

试卷总分:100 得分:100

一、判别题 (共 37 道试题,共 74 分)

1.共同收敛的有界变差函数序列的极限函数也是有界变差函数.



2.测度收敛的L可积函数列,其极限函数L可积.



3.若f∈BV当且仅当f是两个增函数之差。



4.测度为零的集称为零测集.



5.f在[a,b]上为增函数,则f的导数f\'∈L1[a,b].



6.函数f在区间[a,b]上R可积的充要条件是f在区间[a,b]上的不接连点集为零测度集.



7.对恣意可测集E,若f在E上可积,则f的积分具有肯定接连性.



8.f在E上可积的充要条件是级数 M[E(|f|>=n)]之和收敛.



9.不存在这样的函数f:在区间[a,b]上增且使得f\'(x)在[a,b]上积分值∫fdx


10.若f∈L1[a,b],则简直一切的x归于[a,b]均是g的L点.



11.对R^n中恣意点集E,E\E\'必为可测集.



12.积分的四条根本性质构成整个积分论的基础,而其导出性质是根本性质的逻辑推论。



13.增函数f在[a,b]上至多有可数个连续点,且只能有榜首类连续点.



14.积分的引入分为三个递进的过程:非负简略函数的积分,非负可测函数的积分,一般可测函数的积分.



15.若f,g∈BV,则f/g(g不为0)归于BV。



16.f∈BV,则f有“规范分化式”:f(x)=f(a)+p(x)-n(x),其间p(x),n(x)别离为f的正变差和负变差.



17.三大积分收敛定理包含Levi定理,Fatou定理和Lebesgue操控收敛定理。



18.若f,g∈AC,则|f|,f+,f-,f+g,f-g,f/g(g不为0),f∧g,f∨g均归于AC。



19.f可积的充要条件是f+和f-都可积.



20.若f,g∈BV,则f+g,f-g,fg均归于BV。



21.可数个G_delta集之交和有限个G_delta集之并仍是G_delta集,但可数个G_delta集之并未必仍是G_delta集



22.若曲线L由参数方程x=f(t),y=g(t),z=h(t)给定,则L为可度曲线等价于f,h,g∈BV.



23.f∈BV,则f简直处处可微,且f\'∈L1[a,b].



24.接连函数和单调函数都是有界变差函数.



25.设f是区间[a,b]上的有界实函数,则f在[a,b]上R可积,当且仅当f在[a,b]上简直处处接连.



26.函数f在[a,b]上为常数的充要条件是f在[a,b]上肯定接连且在[a,b]上简直处处为零.



27.若f,g∈BV,则|f|,f+,f-,f∧g,f∨g归于BV。



28.不管Riemann积分仍是Lebesgue积分,只需|f|可积,则f必可积.



29.存在某区间[a,b]上增函数f,使得f\'(x)在[a,b]上积分值∫fdx


30.若A交B等于空集,则A可测时必B可测.



31.零测度集的任何子集都是可测集.



32.设f为[a,b]上增函数,则存在分化f=g+h,其间g是上一个接连增函数,h是f的跳动函数.



33.若F是R中一紧集(即有界闭集)且F不等于R,则F是从一闭区间中挖去可数个互不相交的开区间后所得之集.



34.f为[a,b]上减函数,则f\'(x)在[a,b]可积且其积分值∫fdx≤f(b)-f(a) .



35.调集A可测等价于该调集的特征函数X_A可测



36.当f在(0,+∞)上共同接连且L可积时,则lim_{x->+∞}f(x)=0.



37.若f_n与g_n别离测度收敛于f与g,且f_n<=g_n,a.e.,n=1,2,…,则f<=g,a.e.



二、单选题 (共 5 道试题,共 10 分)

38.下列关系式中不建立的是( )

A.f(∪Ai)=∪f(Ai)

B.f∩(Ai)=f(∩Ai)

C.(A∩B)0=A0∩B0

D.(∪Ai)c=∩(Aic)



39.有限个可数集的乘积集是( )

A.有限集

B.可数集

C.有接连统势的集

D.基数为2^c的集



40.fn->f,a.e.,则

A.fn依测度收敛于f

B.fn简直共同收敛于f

C.fn共同收敛于f

D.|fn|->|f|,a.e.



41.在( )条件下,E上的任何广义实函数f(x)都可测.

A.mE=0

B.0
C.mE=+∞

D.0<=mE<=+∞



42.若A为R^n中一疏集,则( )

A.Ac为稠集

B.A为开集

C.A为孤立点集

D.A不齐备



三、多选题 (共 8 道试题,共 16 分)

43.设E1,E2是R^n中测度有限的可测集,则

A.m(E1∪E2)+m(E1∩E2)=mE1+mE2

B.若E1包括于E2,mE1<=mE2

C.若E1包括于E2,m(E2\E1)=mE2-mE1



44.f(x)=sinx/x,x∈(0,+∞),则f(x)在(0,+∞)上

A.广义R可积

B.不是广义R可积

C.L可积

D.不是L可积



45.若f不可以测,g可测,则下列正确的是( )

A.f+g不可以测

B.fg不可以测

C.g^2可测

D.|g|可测



46.若f∈BV[a,b],则( )

A.f为有界函数

B.Vax(f)为增函数

C.对恣意c有Vab(f)=Vac(f)+Vcb(f)

D.f至多有可数个榜首类连续点



47.设f为[a,b]上增函数,则f为( )

A.简直处处可微

B.L可积

C.f\'可积

D.区间[a,b]上积分值∫f\'(x)dx=f(b)-f(a)



48.设E为R^n中的一个不可以测集,则其特征函数是

A.是L可测函数

B.不是L可测函数

C.有界函数

D.接连函数



49.若A 和B都是R中开集,且A是B的真子集,则( )

A.m(A)
B.m(A)<=m(B)

C.m(B\A)=m(A)

D.m(B)=m(A)+m(B\A)



50.若f,g是有界变差函数,则( )

A.f+g有界变差函数

B.fg有界变差函数

C.f/g有界变差函数

D.max(f,g)有界变差函数

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